За пределами Гауссовых процессов: как нейросети учатся выделять признаки

Автор: Денис Аветисян

Новое исследование показывает, что байесовские нейросети демонстрируют обучение представлений, выходящее за рамки привычных моделей, благодаря принципам больших отклонений и формированию эффективных ядер.

☕️

Читаем отчёты, пьём кофе, ждём дивиденды. Если тебе надоел хайп и ты ищешь скучную, но стабильную гавань — добро пожаловать.

Телеграм канал

Исследование демонстрирует, что функция больших отклонений апостериорного распределения, рассчитанная для выбранного ядра, сопоставима с квадратичной функцией, индуцированной гауссовским процессом с ядром NNGP, при этом наблюдается относительное расхождение в норме оператора между выбранным ядром и ядром NNGP.

Работа раскрывает механизмы обучения признакам в байесовских нейросетях, выходящие за пределы пределов Гауссовых процессов, и использует теорию больших отклонений для анализа и прогнозирования их поведения.

Несмотря на широкое распространение байесовских нейронных сетей, понимание механизмов, определяющих концентрацию апостериорного распределения за пределами гауссовских процессов, остается сложной задачей. В работе ‘Beyond NNGP: Large Deviations and Feature Learning in Bayesian Neural Networks’ исследуется поведение широких байесовских сетей, фокусируясь на редких, но статистически значимых флуктуациях. Показано, что применение теории больших отклонений позволяет получить вариационные критерии, отражающие сложность и обучение признакам непосредственно на функциональном уровне, а также выявить эмерджентные ядра, формирующиеся в процессе обучения. Какие новые перспективы открывает этот подход для разработки более эффективных и интерпретируемых байесовских моделей?

Предел Масштаба: От Извлечения Признаков к Теоретическому Пониманию

Современные методы машинного обучения в значительной степени полагаются на автоматическое извлечение признаков, позволяя алгоритмам самостоятельно выявлять наиболее релевантные характеристики данных. Однако, по мере увеличения масштаба этих моделей — увеличения числа параметров и сложности архитектуры — обнаруживаются фундаментальные теоретические ограничения. Это проявляется в снижении обобщающей способности, появлении непредсказуемого поведения и трудностях в оптимизации. Вместо ожидаемого улучшения производительности, дальнейшее масштабирование может приводить к насыщению или даже ухудшению результатов, указывая на то, что существующие теоретические рамки не полностью описывают поведение сверхшироких нейронных сетей. Таким образом, успешное развитие машинного обучения требует не только увеличения вычислительных мощностей, но и глубокого понимания этих теоретических пределов, что позволит разрабатывать более эффективные и надежные алгоритмы.

Традиционные методы анализа, успешно применяемые к нейронным сетям умеренного размера, сталкиваются со значительными трудностями при изучении поведения очень широких сетей. Это связано с экспоненциальным ростом числа параметров и сложностью отслеживания взаимодействий между ними, что делает невозможным применение стандартных подходов, таких как анализ чувствительности или линейная аппроксимация. В результате, предсказание обобщающей способности и стабильности таких сетей становится проблематичным, а контроль над их обучением — затруднительным. Невозможность адекватно оценить влияние каждого параметра на итоговый результат ограничивает возможности оптимизации и разработки более эффективных алгоритмов обучения, что подчеркивает необходимость поиска новых теоретических инструментов и методологий для анализа масштабируемых нейронных сетей.

Понимание теоретических пределов нейронных сетей является ключевым фактором для разработки более надежных и эффективных алгоритмов машинного обучения. Исследования показывают, что при увеличении масштаба сети возникают фундаментальные ограничения, связанные с обобщающей способностью и вычислительной сложностью. Преодоление этих ограничений требует не просто увеличения вычислительных ресурсов, но и глубокого анализа математических свойств сетей, включая их способность к представлению сложных функций и устойчивость к шуму. Разработка новых теоретических моделей, способных предсказывать поведение широких сетей, позволит создавать алгоритмы, которые будут более эффективны в решении реальных задач, а также устойчивы к различным типам атак и искажениям данных. Таким образом, углубленное понимание теоретических границ нейронных сетей открывает путь к созданию интеллектуальных систем нового поколения, способных к надежному и эффективному обучению и функционированию.

Сравнение карт наибольшей вероятности (MAP) для широкой гауссовской нейронной сети, обученной на целевой функции Хевисайда, показывает, что использование активации ReLU (слева) и гиперболического тангенса (справа) влияет на точность предсказаний <span class="katex-eq" data-katex-display="false">y^{\ast}(x\_{\mathrm{test}})</span> в зависимости от входного сигнала <span class="katex-eq" data-katex-display="false">x\_{\mathrm{test}}</span>. — Сравнение карт наибольшей вероятности (MAP) для широкой гауссовской нейронной сети, обученной на целевой функции Хевисайда, показывает, что использование активации ReLU (слева) и гиперболического тангенса (справа) влияет на точность предсказаний $y^{\ast}(x\_{\mathrm{test}})$ в зависимости от входного сигнала $x\_{\mathrm{test}}$ .

Широкие Сети и Гауссовские Процессы: Сходимость к Простоте

По мере увеличения ширины нейронных сетей (количества нейронов в скрытых слоях) их поведение асимптотически сходится к поведению гауссовских процессов. Это означает, что предсказания бесконечно широкой сети могут быть эквивалентно описаны гауссовским процессом, что позволяет использовать математический аппарат теории гауссовских процессов для анализа и предсказания поведения таких сетей. При этом, распределение весов в сети должно удовлетворять определенным условиям, чтобы сходимость была гарантирована. В пределе бесконечной ширины, выход сети становится гауссовской случайной величиной, полностью определяемой функцией ковариации, зависящей от входных данных и параметров сети. $f(x) \sim \mathcal{N}(\mu(x), \Sigma(x))$ .

Формализация сходимости широких нейронных сетей к гауссовским процессам, известная как предел нейронной сети — гауссовский процесс (Neural Network Gaussian Process или NNGP), позволяет применять инструменты теории гауссовских процессов для анализа поведения сети. В частности, это включает в себя использование $\mu(x)$ для предсказания среднего значения и $k(x, x')$ — функции ядра, определяющей ковариацию между выходами сети для различных входных данных. Такой подход позволяет рассчитывать неопределенность предсказаний, оценивать градиенты и проводить анализ обобщающей способности сети, опираясь на хорошо разработанный математический аппарат теории гауссовских процессов, вместо сложных вычислений, связанных с анализом глубоких нейронных сетей.

Предел нейронной сети, соответствующий бесконечной ширине (Neural Network Gaussian Process, NNGP), существенно упрощает анализ поведения широких нейронных сетей. В рамках NNGP, функция, реализуемая сетью, может быть аппроксимирована как гауссовский процесс, что позволяет применять хорошо разработанные инструменты гауссовского процесса для исследования ее свойств. Это позволяет анализировать функции, которые сеть может аппроксимировать, а также оценивать ее способность к обобщению на новые, ранее не встречавшиеся данные, используя такие метрики, как $MSE$ или $RMSE$ . Таким образом, NNGP предоставляет аналитическую основу для понимания и прогнозирования поведения широких нейронных сетей без необходимости проведения дорогостоящих численных экспериментов.

Анализ выборок из апостериорного распределения для ReLU-сети, обученной на Heaviside-цели, показывает, что масштабирование nn-температурой (LDP) приводит к концентрации вокруг предсказания LDP-MAP, в то время как стандартное масштабирование NNGP демонстрирует более широкие гауссовские флуктуации вокруг среднего апостериорного NNGP.

Методы Ядер и Теоретический Анализ: Выявление Границ Обобщения

Предел NNGP (Neural Tangent Gaussian Process) указывает на то, что достаточно широкие нейронные сети в определенном режиме функционируют аналогично регрессии на основе ядра. В этом режиме, поведение сети асимптотически эквивалентно выполнению линейной регрессии в пространстве признаков, определяемом ядром NNGP. Это ядро, $K(x, x') = \mathbb{E}[\nabla_{\theta} f(x, \theta) \cdot \nabla_{\theta} f(x', \theta)]$ , где $f(x, \theta)$ — выход сети с параметрами θ, и ожидание берется по случайной инициализации параметров, позволяет рассматривать широкие нейронные сети как нелинейные модели, приближающиеся к линейным в бесконечно широком пределе, и анализировать их с использованием инструментов, разработанных для методов ядра.

Установление связи между широкими нейронными сетями и регрессией с использованием ядра NNGP позволяет применять существующие теоретические инструменты методов ядер для анализа ошибки обобщения этих сетей. В частности, методы, разработанные для анализа производительности моделей с ядрами, такие как $RKHS$ (воспроизводящие ядра Гильберта) и связанные с ними понятия радиуса $VC$ -размерности, могут быть адаптированы для оценки способности нейронной сети к обобщению на невидимые данные. Это позволяет формально оценивать сложность модели и устанавливать границы для ошибки обобщения в зависимости от размера обучающей выборки и параметров сети, что ранее было затруднительно для глубоких нейронных сетей.

Понимание концентрации апостериорного распределения, достигаемое методами, такими как MALA сэмплинг, позволяет применять теорию PAC-Bayes и методы контроля емкости сети. В частности, анализ апостериорного распределения весов нейронной сети демонстрирует существование ненулевого разрыва ядра (kernel gap) по отношению к ядру NNGP. Этот разрыв указывает на то, что реальная сеть обладает более высокой способностью к обобщению, чем предсказывается теорией NNGP, поскольку контроль емкости позволяет ограничить сложность модели и предотвратить переобучение на обучающих данных. $\Delta = \sup_{q} \mathbb{E}_{p(y|x)} [KL(q(w|y) || p(w|y))]$ где $KL$ — дивергенция Кульбака-Лейблера, а $p(w|y)$ и $q(w|y)$ — апостериорные распределения весов соответственно.

Сравнение между принципом наибольшей вероятности (LDP) и теорией случайных градиентов Ньютона (NNGP) показывает, что LDP позволяет находить ядра, близкие к NNGP, и обеспечивает сопоставимую скорость сходимости, подтвержденную как функцией больших отклонений, так и разницей в операторной норме между выбранными ядрами.

Редкие События и Вероятностные Ландшафты: Характеристика Поведения Сети

Теория больших отклонений предоставляет мощный инструментарий для анализа редких событий в вероятностном ландшафте широких нейронных сетей. В отличие от традиционных подходов, сосредоточенных на типичном поведении, данная теория позволяет исследовать области крайне низкой вероятности, выявляя факторы, определяющие возникновение необычных конфигураций и состояний сети. Это особенно важно при изучении оптимизации, где редкими событиями могут быть ситуации, приводящие к нестабильности обучения или к локальным минимумам. Использование теории больших отклонений позволяет не только количественно оценить вероятность таких событий, но и понять, как архитектурные параметры сети, такие как глубина и ширина, влияют на устойчивость и эффективность процесса обучения. $R(y) = \lim_{N \to \in fty} -\frac{1}{N} \log P(Y_N = y)$ — функция скорости, ключевой элемент анализа, характеризует экспоненциальную скорость убывания вероятности отклонения от типичного поведения, раскрывая структуру вероятностного ландшафта и определяя наиболее вероятные траектории оптимизации.

Теория больших отклонений предоставляет возможность количественно оценить вероятность возникновения конкретных состояний нейронной сети, выходящих за рамки типичного поведения. Этот подход позволяет не только предсказывать частоту редких событий, но и выявлять, каким образом различные параметры сети — такие как глубина $L$ , ширина слоев и скорость обучения — влияют на вероятность их появления. Анализ вероятностного ландшафта позволяет определить, какие конфигурации параметров благоприятствуют возникновению определенных паттернов активации или, напротив, подавляют их, открывая возможности для более тонкой настройки и оптимизации производительности нейронных сетей. Таким образом, становится возможным предсказуемое управление поведением сети даже в условиях, когда традиционные методы анализа оказываются неэффективными.

Исследование поведения широких нейронных сетей выявило, что функция скорости отклонения демонстрирует подлинейный рост, пропорциональный квадрату выхода $|y|^2$ , делённому на глубину сети $L+1$ . Этот факт указывает на то, что вероятность наблюдения экстремальных состояний сети уменьшается быстрее, чем можно было бы предположить, и что увеличение глубины сети способствует более стабильной оптимизации. Наблюдаемые градиенты при обучении последовательно остаются меньше 1e-3, подтверждая устойчивость процесса и минимизируя риск расхождения. Таким образом, полученные данные указывают на то, что глубина сети играет ключевую роль в обеспечении предсказуемого и контролируемого поведения даже в условиях редких событий и экстремальных выходных значений.

Анализ деформации апостериорной функции отклонений показывает, что широкая Гауссова нейронная сеть, обученная на целевой функции Хевисайда с использованием активаций ReLU (слева) и tanh (справа), демонстрирует различную чувствительность к входному сигналу <span class="katex-eq" data-katex-display="false">x_{test}=3</span>. — Анализ деформации апостериорной функции отклонений показывает, что широкая Гауссова нейронная сеть, обученная на целевой функции Хевисайда с использованием активаций ReLU (слева) и tanh (справа), демонстрирует различную чувствительность к входному сигналу $x_{test}=3$ .

За Пределами Теории: Влияние на Проектирование Сетей и Будущие Исследования

Понимание сходимости к гауссовским процессам и роли ядер предоставляет обоснованный подход к проектированию нейронных сетей. Вместо эмпирического подбора архитектуры, исследователи теперь могут опираться на математическую основу, определяя поведение сети через выбор подходящего ядра. Ядро, по сути, определяет меру схожести между входными данными и, следовательно, влияет на способность сети к обобщению. Использование принципов гауссовских процессов позволяет не только улучшить производительность, но и предоставить инструменты для оценки неопределенности прогнозов, что особенно важно в критически важных приложениях. Такой подход открывает перспективы для создания более надежных и интерпретируемых нейронных сетей, где параметры сети формируются на основе четких математических принципов, а не случайного поиска оптимальной конфигурации.

Тщательный контроль ядра и применение методов вариационного вывода позволяют значительно повысить способность нейронных сетей к обобщению и их устойчивость к шумам и искажениям. Вместо того, чтобы полагаться на эмпирический подбор параметров, исследователи могут целенаправленно формировать ядро, определяющее «схожесть» между входными данными, что позволяет сети лучше экстраполировать знания на новые, ранее невиданные примеры. Использование вариационного вывода, в свою очередь, позволяет эффективно оценивать неопределенность в параметрах сети, что способствует созданию более надежных и предсказуемых моделей, способных адаптироваться к изменяющимся условиям и избегать переобучения. Данный подход открывает новые перспективы для разработки нейронных сетей, обладающих повышенной устойчивостью и способностью к обобщению, что особенно важно для применения в критически важных областях, таких как медицина и автономное вождение.

Алгоритм MALA продемонстрировал стабильную скорость принятия предложений на уровне 0.75 при семплировании апостериорного распределения конечной ширины. Этот результат открывает новые перспективы для дальнейших исследований, направленных на расширение теоретических выводов на более сложные архитектуры нейронных сетей. Особый интерес представляет изучение взаимосвязи между методами ядра и байесовскими нейронными сетями, что позволит разрабатывать более надежные и обобщающие модели. Стабильность алгоритма MALA обеспечивает эффективный инструмент для исследования этих связей и проверки теоретических предсказаний на практике, способствуя развитию более глубокого понимания принципов работы нейронных сетей.

Исследование демонстрирует, что байесовские нейронные сети выходят за рамки простого предела гауссовских процессов, проявляя способность к обучению признакам, обусловленному возникающими ядрами. Этот процесс, раскрываемый посредством принципов больших отклонений, указывает на фундаментальный механизм, определяющий поведение этих сетей. Как отмечал Поль Фейерабенд: «Метод — это не путь к истине, а инструмент для достижения цели». Данное исследование, фокусируясь на выявлении внутренних механизмов обучения признакам, подтверждает эту мысль, демонстрируя, что понимание ‘метода’ — в данном случае, принципов работы байесовских сетей — позволяет лучше предсказывать и контролировать их поведение. В отличие от упрощенных моделей, данная работа подчеркивает сложность и многогранность процессов обучения в нейронных сетях.

Куда Далее?

Представленная работа, концентрируясь на отклонениях от гауссовских процессов в байесовских нейронных сетях, выявляет закономерности обучения, коренящиеся в формировании эффективных ядер. Однако, необходимо признать, что обнаружение этих ядер — лишь первый шаг. Истинная сложность заключается не в описании что сеть изучает, а в понимании почему она выбирает именно эти признаки. Поиск универсальных принципов, управляющих формированием ядер в различных архитектурах, остаётся открытым вопросом.

Ограничения текущего подхода очевидны. Анализ больших отклонений, хотя и даёт прозрения, требует значительных вычислительных ресурсов. Необходимо разработать более эффективные методы, позволяющие масштабировать анализ на более сложные модели и наборы данных. Кроме того, связь между emergent kernels и обобщающей способностью сети требует дальнейшего изучения. Достаточно ли просто описать ядро, чтобы предсказать поведение сети в неизвестных условиях?

В конечном счёте, прогресс в этой области потребует смещения акцента с эмпирических наблюдений на строгие теоретические рамки. Простота — критерий истины. Если мы не сможем сформулировать принципы обучения байесовских нейронных сетей в одном предложении, то, вероятно, мы лишь описываем симптомы, а не причину.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2602.22925.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2026-02-27 17:27