Взаимосвязи на рынке криптовалют: взгляд сквозь призму случайных матриц

Автор: Денис Аветисян

Новое исследование раскрывает, как методы анализа корреляций, учитывающие нестационарность данных, позволяют лучше понять коллективное поведение на криптовалютных биржах.

☕️

Читаем отчёты, пьём кофе, ждём дивиденды. Если тебе надоел хайп и ты ищешь скучную, но стабильную гавань — добро пожаловать.

Бесплатный Телеграм канал

Распределение логарифмических доходностей по 140 криптовалютам демонстрирует соответствие как $q$-гауссовой (при $q=3/2$), так и степенному закону (при $\gamma=3$), что указывает на общие закономерности в динамике цен цифровых активов.

Работа посвящена исследованию спектральных свойств матриц скоррелированной волатильности криптовалют с применением теории случайных матриц и методов детрендирования.

Анализ корреляций в сложных системах зачастую затруднен нестационарностью данных и наличием тяжелых хвостов распределений. В работе «Detrended cross-correlations and their random matrix limit: an example from the cryptocurrency market» предложен подход, основанный на построении масштабно- и флуктуационно-зависимых матриц кросс-корреляций с использованием детрендированного коэффициента корреляции, позволяющего выделить флуктуации различной амплитуды. Полученные результаты демонстрируют, что детрендирование, тяжелые хвосты и параметр порядка флуктуаций совместно формируют спектры, существенно отличающиеся от случайных, даже при отсутствии временных кросс-корреляций. Возможно ли, используя предложенный подход, более эффективно выделять истинные взаимозависимости в нелинейных, нестационарных системах и отличать их от случайного шума?

Поиск Истинных Связей в Хаосе Данных

Традиционные методы корреляционного анализа, основанные на статичных данных, часто оказываются неэффективными при работе с нестационарными системами. Это связано с тем, что при постоянном изменении характеристик данных, случайные совпадения могут быть ошибочно интерпретированы как реальные зависимости. В результате, выявляются ложные корреляции, которые не имеют прогностической ценности и могут привести к неверным выводам. Например, краткосрочное совпадение двух финансовых показателей может быть принято за закономерность, в то время как оно обусловлено лишь случайными колебаниями. Поэтому для анализа динамических систем, характеризующихся нестационарностью, требуется применение специализированных методов, способных отфильтровать шум и выделить истинные взаимосвязи между переменными. Особенно важно это учитывать при работе с временными рядами, где тренды и зависимости могут меняться со временем.

Финансовые рынки, и в особенности рынок криптовалют, представляют собой яркий пример систем, характеризующихся непрерывным изменением трендов и взаимосвязей. В отличие от стационарных систем, где статистические свойства остаются относительно постоянными во времени, динамика криптовалют отличается высокой волатильностью и подверженностью внешним факторам, таким как новости, регуляторные изменения и настроения инвесторов. Эти факторы приводят к постоянному перестраиванию корреляций между различными активами, делая традиционные методы анализа, основанные на предположении о стационарности данных, неэффективными. Краткосрочные зависимости могут возникать и исчезать в считанные часы, а долгосрочные тренды могут внезапно меняться, требуя от аналитиков постоянного мониторинга и адаптации моделей для выявления истинных, а не случайных, корреляций. Понимание этой динамической природы рынка криптовалют является ключевым для разработки эффективных стратегий управления рисками и принятия обоснованных инвестиционных решений.

Для выявления подлинных взаимосвязей в динамичных системах, таких как финансовые рынки, требуется применение методов, способных отделить истинные корреляции от случайного шума и временных эффектов. Традиционные подходы часто неэффективны в условиях нестационарности данных, приводя к ложным выводам о зависимости между переменными. Современные алгоритмы, использующие, например, вейвлет-анализ или методы, основанные на теории хаоса, позволяют выделить устойчивые корреляции, игнорируя краткосрочные колебания и тренды. Эти подходы не только повышают точность анализа, но и открывают возможности для более надежного прогнозирования и управления рисками в сложных системах, где $корреляция \neq причинно-следственная связь$.

На протяжении периода с 1 января 2021 года по 30 сентября 2024 года кумулятивная доходность большинства из 140 криптовалют (серые линии) демонстрировала значительные колебания, в то время как Bitcoin (красная линия) и Ethereum (синяя линия) выделялись на фоне остальных, а отдельные периоды повышенной волатильности отмечены на графике (a)-(d), при этом более детальный анализ одного из таких периодов (15-18 августа 2023 года) представлен на дополнительном графике.

Детрендирование: Изоляция Подлинных Взаимосвязей

Анализ скоррелированной детрендированной зависимости (Detrended Cross-Correlation Analysis) решает проблему ложных корреляций путем предварительного удаления трендов из данных временных рядов с использованием процедуры детрендирования. Эта процедура позволяет исключить влияние общих тенденций, которые могут искусственно завышать или занижать значения корреляции между сигналами. Удаление трендов выполняется для каждого временного ряда перед расчетом коэффициента корреляции, что позволяет более точно оценить истинную взаимосвязь между ними, исключая влияние долгосрочных изменений, не связанных с непосредственной зависимостью между сигналами. Таким образом, детрендирование является важным шагом для выявления подлинных взаимосвязей в данных.

Процедура использует методы масштабно-зависимой фильтрации (Scale-Dependent Filtering) для адаптации к различным временным масштабам и эффективной изоляции лежащих в основе зависимостей. Данный подход позволяет отделить корреляции, обусловленные общими трендами, от истинных взаимосвязей между временными рядами. Суть метода заключается в применении фильтров, характеристики которых меняются в зависимости от масштаба времени, что позволяет выделить зависимости, проявляющиеся на определенных временных интервалах, и отфильтровать шумовые компоненты или долгосрочные тренды, искажающие результаты анализа корреляций. Это особенно важно при анализе сложных систем, где взаимосвязи могут проявляться на разных временных масштабах, и стандартные методы корреляционного анализа могут давать ложные результаты.

В результате применения процедуры детрендирования формируется матрица детрендированной корреляции, обеспечивающая более точное представление о взаимосвязях внутри исследуемой системы. Данная матрица, в отличие от стандартной матрицы корреляции, не искажается наличием общих трендов во временных рядах, что позволяет выявить истинные зависимости между сигналами. Значения в матрице детрендированной корреляции отражают степень статистической связи между сигналами после удаления линейных и нелинейных трендов, обеспечивая более надежную оценку реальной взаимосвязанности компонентов системы. Это особенно важно при анализе нестационарных данных, где традиционные методы корреляционного анализа могут давать ложные результаты из-за влияния трендов и других систематических эффектов.

Анализ плотности вероятности внедиагональных элементов матрицы ρr(s), полученной из случайных некоррелированных временных рядов с различными параметрами q, показывает, что увеличение q приводит к отклонению от гауссовского распределения, характерного для случайных матриц Вишарта.

Проверка на Случайность: Отсеивая Шум от Сигнала

Теория случайных матриц (ТРМ) предоставляет методологию для генерации нулевых гипотез и оценки статистической значимости наблюдаемых корреляций. В рамках ТРМ, предполагается, что отсутствие реальной зависимости между переменными приводит к спектру собственных значений, описываемому определённым распределением. Этот подход позволяет создать эталонный набор данных, представляющий собой случайные флуктуации, и сравнить с ним наблюдаемый спектр корреляционной матрицы. Если наблюдаемые собственные значения значительно отличаются от ожидаемых в рамках нулевой гипотезы, это свидетельствует о наличии истинных корреляций, а не случайного шума. Фактически, ТРМ служит инструментом для отделения сигнала от шума в анализе многомерных данных, позволяя оценить вероятность того, что наблюдаемые корреляции возникли случайно.

Сравнение наблюдаемого спектра собственных значений (Eigenvalue Spectrum) с распределением Марченко-Пастура позволяет дифференцировать реальные корреляции от случайного шума. Распределение Марченко-Пастура, $P(\lambda)$, описывает ожидаемое распределение собственных значений для случайных матриц и служит нулевой гипотезой при анализе корреляционных матриц. Если наблюдаемый спектр значительно отклоняется от распределения Марченко-Пастура, это указывает на наличие структурированных зависимостей в данных, а не на случайные флуктуации. Данный подход позволяет оценить статистическую значимость наблюдаемых корреляций и исключить ложноположительные результаты, возникающие из-за случайных совпадений в данных.

Проверка выявленных корреляций на случайность критически важна для исключения ложных зависимостей, обусловленных исключительно флуктуациями. В рамках данной проверки используются случайные временные ряды для создания эталонных данных. Наш анализ показал, что стандартные предположения, лежащие в основе распределения Марченко-Пастура, оказываются недостаточными для адекватного определения границ случайного шума. В связи с этим, требуется разработка и применение пересмотренной спектральной базовой линии, учитывающей специфику исследуемых данных и обеспечивающей более точную оценку значимости наблюдаемых корреляций. Использование $RMT$ позволяет определить, насколько спектр собственных значений отличается от ожидаемого для случайной матрицы.

Распределение собственных значений матрицы плотности корреляции демонстрирует переход от гауссовского распределения к распределению Марченко-Пастура при увеличении параметра q, что подтверждается сравнением с теоретическими кривыми для различных значений s и r.

Выявление Коллективного Поведения на Финансовых Рынках

Анализ спектра собственных значений позволяет выявить коллективное поведение на криптовалютном рынке — синхронизированные движения множества активов. Исследование показывает, что в спектре проявляются закономерности, отражающие общую тенденцию к скоординированным изменениям цен. Выделение собственных значений и соответствующих собственных векторов предоставляет возможность количественно оценить степень синхронности между различными криптовалютами. Значительные собственные значения указывают на доминирующие факторы, оказывающие наибольшее влияние на динамику рынка. Подобный подход позволяет не только идентифицировать активы, тесно связанные между собой, но и прогнозировать потенциальные каскадные эффекты, возникающие при изменении рыночной конъюнктуры. Таким образом, спектральный анализ выступает эффективным инструментом для понимания сложной структуры взаимосвязей и выявления коллективных явлений в динамичной среде криптовалютного рынка.

Коллективное поведение на финансовых рынках часто проявляется в виде доминирующего рыночного фактора — компонента в спектре собственных значений, отражающего общую синхронность движения активов. Данный фактор, выделяемый при анализе спектра, представляет собой наиболее значимую составляющую, определяющую преобладающее направление движения большинства активов в рассматриваемый период времени. По сути, он указывает на наличие общего тренда или настроения, которое захватывает рынок. Размер и значимость этого доминирующего фактора в спектре собственных значений позволяют оценить степень согласованности поведения различных активов, а также предсказать общую динамику рынка, поскольку именно он задает тон и амплитуду коллективных колебаний. Изучение этого фактора дает возможность выявить общие драйверы, влияющие на рынок, и оценить его устойчивость к внешним воздействиям.

Анализ флуктуаций, в сочетании с использованием $q$-гауссовой дистрибуции, позволяет детально охарактеризовать амплитуду и масштабируемые свойства коллективных движений на финансовых рынках. Исследования показали, что временной масштаб детрендирования ($s$), варьирующийся от 10 до 360 минут, оказывает значительное влияние на разрыв между наибольшим и последующими собственными значениями спектра. В свою очередь, порядок флуктуаций ($r=2, 4$) определяет количество выбросов — собственных значений, значительно отличающихся от остальных. Данные результаты демонстрируют, что изменение масштаба анализа и порядка флуктуаций позволяет выявить и количественно оценить степень синхронизации и устойчивости коллективного поведения активов, что представляет ценность для понимания динамики рынка и разработки стратегий управления рисками.

Анализ распределения собственных значений матрицы плотности корреляции в различные моменты времени (февраль 2021, август 2023, апрель и август 2024 годов) для разных масштабов и индексов демонстрирует соответствие случайным данным с q=3/2, что подтверждается сравнением с эталонным распределением, представленным на красной пунктирной линии.

Исследование спектральных свойств детрендированных матриц кросс-корреляции, предложенное в работе, закономерно наводит на мысль о неизбежной эволюции любой, даже самой элегантной, теоретической конструкции под давлением реальных данных. Подобно тому, как каждое «революционное» технологическое решение рано или поздно обрастает техническим долгом, так и любые математические модели нуждаются в постоянной адаптации к нелинейностям и флуктуациям, особенно в таких динамичных системах, как криптовалютный рынок. Как точно заметил Джон Стюарт Милль: «Лучше быть неудовлетворенным человеком, который мыслит, чем довольным идиотом». Это особенно актуально при анализе сложных коррелированных систем, где стремление к идеальной модели часто оборачивается игнорированием нестанционарности и тяжелых хвостов распределений.

Что дальше?

Представленная работа, тщательно исследуя спектральные свойства детрендированных матриц кросс-корреляции, неизбежно наталкивается на фундаментальную истину: любое «улучшение» метода анализа — это лишь временное отсрочивание неизбежного столкновения с реальностью нестационарности. Рынки криптовалют, как и любые другие сложные системы, демонстрируют склонность к перестройке, а значит, и к разрушению любой, даже самой изящной, модели. Если система стабильно падает — значит, хотя бы последовательна.

Дальнейшие исследования, вероятно, сосредоточатся на попытках «приручить» тяжёлые хвосты распределений и учесть мультифрактальную природу данных. Однако, стоит помнить: всё это — лишь усложнение математического аппарата, а не решение проблемы. В конечном итоге, задача сводится к построению моделей, способных адаптироваться к меняющимся условиям, что, по сути, означает постоянную перепись кода. Мы не пишем код — мы просто оставляем комментарии будущим археологам.

Вполне вероятно, что внимание переключится на анализ более высокочастотных данных или на поиск новых, более устойчивых метрик корреляции. Но не стоит обольщаться: каждое новое «революционное» решение неминуемо превратится в технический долг. И это — не недостаток метода, а фундаментальное свойство любой попытки описать хаотичную систему.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2512.06473.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2025-12-09 16:56