Поиск скрытых закономерностей волатильности: новый подход

Автор: Денис Аветисян

Исследование демонстрирует, что символическая регрессия способна находить эффективные параметризации неявной волатильности, сопоставимые с общепринятой моделью SVI.

🐢

Ищешь ракеты? Это не к нам. У нас тут скучный, медленный, но надёжный, как швейцарские часы, фундаментальный анализ.

Телеграм канал

В результате символической регрессии были получены шесть выражений <span class="katex-eq" data-katex-display="false">f_1, \dots f_6</span>, демонстрирующих меньшую ошибку, чем у SVI, что указывает на возможность построения более точных моделей на основе этих выражений. — В результате символической регрессии были получены шесть выражений $f_1, \dots f_6$ , демонстрирующих меньшую ошибку, чем у SVI, что указывает на возможность построения более точных моделей на основе этих выражений.

Символическая регрессия позволяет открывать новые параметризации неявной волатильности с соблюдением ограничений, обеспечивающих отсутствие арбитражных возможностей.

Построение адекватных параметризаций неявной волатильности представляет собой сложную задачу, требующую баланса между точностью аппроксимации и простотой модели. В работе «Discovering parametrizations of implied volatility with symbolic regression» исследуется подход, основанный на символьной регрессии, для автоматического поиска аналитических формул, описывающих поверхность неявной волатильности как функцию лог-денежности и срока погашения. Полученные параметризации демонстрируют конкурентоспособную точность по сравнению с широко используемой моделью SVI, при этом избегая необходимости в заранее заданном функциональном виде. Возможно ли, используя аналогичные методы, открывать новые, более эффективные способы моделирования финансовых инструментов и управления рисками?

Пределы параметрического моделирования в финансах

Традиционные методы моделирования поверхности подразумеваемой волатильности, такие как SVI, несмотря на широкое распространение в финансовой практике, опираются на строгие параметрические предположения. Эти предположения зачастую не соответствуют реальной динамике рынка, особенно в периоды повышенной волатильности или при формировании нестандартных кривых. Суть проблемы заключается в том, что рынок демонстрирует поведение, которое сложно адекватно описать фиксированным набором параметров. Например, при попытке аппроксимации сложных форм кривых подразумеваемой волатильности, модель может давать неточные результаты, что влияет на корректность ценообразования производных финансовых инструментов и оценку рисков. Поэтому, несмотря на свою простоту и удобство, параметрические методы требуют постоянного контроля и адаптации к меняющимся рыночным условиям, а также стимулируют поиск более гибких и адаптивных подходов к моделированию.

Ограничения параметрического моделирования особенно заметны при работе с атипичными кривыми подразумеваемой волатильности, такими как C6 и C8. Эти кривые, характеризующиеся специфическими изгибами и особенностями, требуют от моделей всё большей сложности для адекватного представления рыночной реальности. В попытке точно отразить подобные формы, применяются всё более изощрённые математические конструкции, однако это часто приводит к снижению интерпретиемости модели и усложняет процесс оценки рисков. По мере увеличения количества параметров, модель становится менее прозрачной, что затрудняет понимание её поведения и выявление потенциальных ошибок. В результате, несмотря на улучшение аппроксимации данных, возрастает риск использования модели, которую сложно контролировать и верифицировать.

Точное моделирование атипичных форм кривых подразумеваемой волатильности, таких как C6 и C8, имеет решающее значение для корректной оценки стоимости производных финансовых инструментов и эффективного управления рисками. Неспособность адекватно отразить эти особенности может привести к существенным ошибкам ценообразования и недооценке потенциальных убытков. В связи с этим, наблюдается растущий интерес к более гибким и основанным на данных подходах, альтернативным традиционным параметрическим моделям. Эти новые методы стремятся уйти от жестких предположений и адаптироваться к сложной динамике рынка, используя, например, непараметрические методы или модели машинного обучения для более точного прогнозирования и оценки рисков.

Обнаруженные параметризации <span class="katex-eq" data-katex-display="false">\hat{w}_{1}^{\text{C8}}</span> точно соответствуют двум C8-кривым из набора данных D2, что подтверждается визуальной неразличимостью кривых и исходных точек данных. — Обнаруженные параметризации $\hat{w}_{1}^{\text{C8}}$ точно соответствуют двум C8-кривым из набора данных D2, что подтверждается визуальной неразличимостью кривых и исходных точек данных.

Символьная регрессия: обнаружение связей из данных

Символьная регрессия представляет собой альтернативный подход к моделированию, позволяющий автоматически выявлять функциональные зависимости непосредственно из данных, в отличие от традиционных методов, требующих предварительного определения структуры модели. Этот метод не нуждается в априорных знаниях о форме зависимости, а сам определяет математическое выражение, наилучшим образом описывающее взаимосвязь между переменными. Вместо того, чтобы подгонять параметры заранее заданной функции, символьная регрессия ищет оптимальную функцию в пространстве возможных выражений, используя генетические алгоритмы и другие методы оптимизации для поиска наиболее подходящего уравнения, объясняющего данные.

Для выявления скрытых закономерностей в данных применяется набор данных D2, специально сформированный с использованием различных форм срезов подразумеваемой волатильности, включая SVI5 Curves, C6 и C8. Этот подход позволяет исследовать взаимосвязи между параметрами, определяющими форму этих кривых, и выявлять функциональные зависимости, не требуя предварительного определения структуры модели. Набор данных D2 обеспечивает разнообразие входных данных, позволяя алгоритмам символьной регрессии эффективно обучаться и обнаруживать новые, потенциально более точные, параметризации подразумеваемой волатильности.

С использованием метода символьной регрессии были обнаружены новые параметризации неявной волатильности, демонстрирующие сопоставимые результаты с моделью SVI. В частности, сложность полученного выражения составила 15, что соответствует сложности модели SVI (также 15). Это указывает на возможность автоматического выявления функциональных зависимостей, сопоставимых по эффективности с существующими параметрическими моделями, без необходимости предварительного задания структуры модели. Данный результат демонстрирует потенциал символьной регрессии для поиска альтернативных и конкурентоспособных моделей в области финансового моделирования.

Инструмент PySR значительно упрощает процесс символьной регрессии, предоставляя возможности для эффективного исследования различных функциональных форм. Он автоматизирует ключевые этапы, включая генерацию выражений, их оценку и отбор наиболее подходящих моделей на основе заданных данных. PySR использует генетические алгоритмы и другие методы оптимизации для поиска математических выражений, которые наилучшим образом соответствуют наблюдаемым данным, позволяя пользователям быстро исследовать широкий спектр потенциальных моделей без необходимости ручного построения и тестирования каждого варианта. Это особенно полезно при работе с высокоразмерными данными или при поиске нелинейных зависимостей, где традиционные методы моделирования могут быть неэффективными или требовать значительных усилий по настройке.

Обнаруженные параметризации <span class="katex-eq" data-katex-display="false">\hat{w}_{1}^{\text{C6}}</span> и <span class="katex-eq" data-katex-display="false">\hat{w}_{2}^{\text{C6}}</span> точно соответствуют двум C6-кривым из набора данных D2, практически неотличимым от самих данных на графике. — Обнаруженные параметризации $\hat{w}_{1}^{\text{C6}}$ и $\hat{w}_{2}^{\text{C6}}$ точно соответствуют двум C6-кривым из набора данных D2, практически неотличимым от самих данных на графике.

Обеспечение финансовой состоятельности: ограничения арбитража

Для обеспечения финансоческой состоятельности моделей, полученных с помощью символической регрессии, необходимо внедрение ограничений, предотвращающих арбитражные возможности. Арбитраж представляет собой получение безрисковой прибыли, что противоречит принципам рыночного равновесия. Включение таких ограничений в процесс обучения модели гарантирует, что полученные выражения соответствуют экономическим принципам и не позволяют построить стратегии, гарантированно приносящие прибыль без риска. Отсутствие таких ограничений может привести к созданию нереалистичных моделей, которые не будут работать на реальных рынках и могут привести к убыткам.

Ограничения, обеспечивающие финансовую состоятельность моделей символьной регрессии, базируются на установленных условиях, таких как условие Дюррлемана и границы Ли. Условие Дюррлемана, выраженное как $\frac{\partial K}{\partial T} \leq 0$ , где K — цена опциона, а T — время до экспирации, гарантирует, что стоимость опциона не увеличивается с течением времени при прочих равных условиях. Границы Ли, в свою очередь, устанавливают ограничения на поведение подразумеваемой волатильности в экстремальных областях, предотвращая нереалистичные и финансово несостоятельные прогнозы. Использование этих условий в процессе построения моделей обеспечивает соответствие полученных выражений фундаментальным принципам рыночной динамики и предотвращает обнаружение арбитражных возможностей.

Результаты тестирования показали, что обнаруженные выражения демонстрируют сопоставимую или более низкую величину потерь по сравнению с моделью SVI на тестовых наборах данных. При этом, индикатор арбитража у обнаруженных выражений оказался всего на 3% выше, чем у SVI. Данный результат указывает на то, что предложенные выражения способны обеспечить аналогичный уровень точности моделирования, при этом сохраняя финансовую состоятельность и минимизируя риски возникновения возможностей для арбитража.

Для повышения устойчивости модели и предотвращения арбитражных возможностей в экстремальных областях поверхности подразумеваемой волатильности, в функцию потерь может быть интегрирован штраф за арбитраж в «крыльях» (Wing-Arbitrage Penalty). Данный штраф, рассчитываемый на основе отклонений от безрисковой границы, позволяет минимизировать вероятность обнаружения модели, генерирующей нереалистичные или невозможные значения волатильности в отдаленных от денег ценах опционов. Внедрение данного штрафа позволяет более эффективно регулировать поведение модели в областях, где данные ограничены, и тем самым повысить ее надежность и соответствие рыночным условиям.

За пределами статических моделей: условные и основанные на данных идеи

Расширение символической регрессии с помощью условной параметрической регрессии позволяет создавать модели, в которых параметры не являются фиксированными, а изменяются в зависимости от категорий данных. Такой подход существенно повышает адаптивность и точность прогнозов, поскольку учитывает внутреннюю структуру данных и специфические закономерности, характерные для каждой категории. Вместо использования единой модели для всех данных, система способна выявлять и применять различные параметрические зависимости для разных подмножеств, что особенно ценно при анализе сложных и неоднородных систем. Например, в финансовом моделировании это позволяет учитывать влияние различных факторов, таких как волатильность или кредитный рейтинг, на параметры модели, обеспечивая более реалистичные и точные прогнозы. $y = f(x, \theta(z))$ , где $z$ — категория данных, а θ — параметры, зависящие от этой категории.

Использование обширных наборов данных, таких как D1 и D2, играет ключевую роль в обеспечении надежности и обобщающей способности выявленных взаимосвязей. Совместный анализ этих наборов позволяет не только подтвердить устойчивость обнаруженных закономерностей в различных условиях, но и оценить их применимость к новым, ранее не встречавшимся данным. В частности, сопоставление результатов, полученных на D1, с результатами, полученными на D2, служит эффективным механизмом для выявления переобучения и оценки способности модели к экстраполяции. Такой подход существенно повышает доверие к полученным моделям и расширяет область их практического применения, поскольку позволяет с уверенностью утверждать, что выявленные зависимости не являются случайными артефактами, а отражают реальные, устойчивые закономерности в исследуемой системе.

Возможность непосредственного обучения на рыночных данных, включая такие понятия как Log-Moneyness, открывает перспективы создания динамических и адаптивных моделей, способных учитывать меняющуюся конъюнктуру. Традиционные модели зачастую строятся на упрощенных предположениях о стабильности рыночных параметров, однако использование реальных данных позволяет выявлять более сложные взаимосвязи и зависимости. Включение Log-Moneyness — логарифма отношения спотовой цены опциона к цене исполнения — позволяет моделировать поведение опционов с учетом вероятности их прибыльности, что особенно важно для адаптации к различным рыночным сценариям. Такой подход позволяет создавать модели, способные не только прогнозировать, но и адаптироваться к изменяющимся условиям, повышая их точность и эффективность в долгосрочной перспективе. Это, в свою очередь, позволяет более адекватно оценивать риски и принимать обоснованные инвестиционные решения.

Исследование показывает, что символьная регрессия способна находить параметризации неявной волатильности, сопоставимые с общепринятой моделью SVI. Это не вызывает удивления, учитывая, что даже самые элегантные теории, в конечном счёте, сталкиваются с жестокой реальностью продакшена. Как сказал Альберт Эйнштейн: «Самое главное — не переставать задавать вопросы». Иначе говоря, неважно, насколько изящна модель, если она не работает в условиях реального рынка. Авторы продемонстрировали, что можно не только воссоздать существующие модели, такие как SVI, но и найти новые, при этом соблюдая ограничения, необходимые для предотвращения арбитража. Это доказывает, что даже в мире финансов, где правят цифры, всегда есть место для творчества и поиска новых решений. Но, будем честны, рано или поздно, кто-нибудь найдёт способ сломать и эту новую параметризацию.

Что дальше?

Представленная работа демонстрирует, что символьная регрессия способна «открыть» параметризации неявной волатильности, сопоставимые с общепринятой моделью SVI. Разумеется, это не означает наступления эры автоматического финансового моделирования. Скорее, это очередное подтверждение старой истины: каждая «революционная» технология завтра станет техдолгом. Ведь как бы элегантно ни выглядела теория, продакшен всегда найдёт способ её сломать. Особенно учитывая, что документация — это миф, созданный менеджерами.

Главный вопрос, который остаётся открытым, касается масштабируемости. Способность символьной регрессии восстанавливать SVI из ограниченных данных — это интересно, но насколько хорошо она справится с поиском действительно новых параметризаций, выходящих за рамки известных моделей? Или же, в конечном итоге, она просто изобретёт всё те же колеса, но с другим уровнем абстракции? Всё, что обещает упростить жизнь, добавит новый слой абстракции.

Очевидным направлением для дальнейших исследований является включение в процесс обучения более сложных ограничений, отражающих реальные рыночные условия. Но даже это не гарантирует успеха. Наша CI — это храм, в котором мы молимся, чтобы ничего не сломалось. И, в конечном итоге, всегда найдётся какой-нибудь «чёрный лебедь», который заставит все наши красивые модели выглядеть наивно.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2603.21892.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2026-03-24 20:27