Финансовые рынки и квантовая физика: новый взгляд на прогнозирование

от

Автор: Денис Аветисян

Исследователи предлагают использовать методы квантовой теории поля для моделирования и прогнозирования поведения финансовых временных рядов, превосходя традиционные подходы.

☕️

Читаем отчёты, пьём кофе, ждём дивиденды. Если тебе надоел хайп и ты ищешь скучную, но стабильную гавань — добро пожаловать.

Бесплатный Телеграм канал
Прогнозирование доходности акций Apple (AAPL) на следующий торговый день осуществляется посредством теории $\phi^{4}$, использующей исторические данные по акциям AAPL в качестве предиктора для октября 2024 года.
Прогнозирование доходности акций Apple (AAPL) на следующий торговый день осуществляется посредством теории $\phi^{4}$, использующей исторические данные по акциям AAPL в качестве предиктора для октября 2024 года.

В статье рассматривается применение беспорядочной φ⁴ квантовой теории поля в качестве алгоритма машинного обучения для анализа финансовых данных.

Несмотря на широкое применение в эконофизике, модели Изинга зачастую не способны адекватно описывать высшие статистические моменты финансовых временных рядов. В работе ‘Modelling financial time series with $φ^{4}$ quantum field theory’ предложен подход, основанный на использовании беспорядочной $φ^{4}$ квантовой теории поля для моделирования и прогнозирования динамики финансовых активов. Показано, что данный подход позволяет более точно воспроизводить характеристики финансовых данных, включая эксцесс, и обладает потенциалом для повышения точности прогнозов. Может ли обобщение скалярной $φ^{4}$ теории открыть новые перспективы в построении инвестиционных стратегий и понимании механизмов финансовых рынков?

Разрушая Иллюзии: Ограничения Традиционного Финансового Моделирования

Существующие финансовые модели, включая, казалось бы, универсальную модель Изинга, зачастую вынуждены прибегать к упрощающим предположениям и дискретизации данных для обеспечения вычислительной реализуемости. Этот подход, однако, существенно ограничивает их способность адекватно отражать реальную динамику финансовых рынков. Дискретизация непрерывных данных, таких как цены акций или процентные ставки, неизбежно приводит к потере информации и искажению закономерностей. Упрощения, необходимые для построения модели, могут игнорировать ключевые факторы, влияющие на поведение рынка, такие как нелинейные зависимости и взаимосвязи между различными активами. В результате, модели становятся менее точными в прогнозировании и могут давать неверные оценки рисков, особенно в периоды высокой волатильности и нестабильности. Использование таких моделей, несмотря на их кажущуюся простоту, может привести к серьезным ошибкам в принятии финансовых решений и недооценке системных рисков.

Существующие финансовые модели, в частности, зачастую испытывают трудности при адекватном представлении непрерывных данных, таких как цены акций, что снижает их прогностическую способность. Это ограничение особенно ярко проявилось во время Глобального финансового кризиса 2008 года, когда многие модели не смогли предвидеть и адекватно отреагировать на экстремальные рыночные колебания. Дискретизация непрерывных данных для упрощения расчетов приводит к потере информации и искажению реальной картины, что делает модели уязвимыми к неожиданным событиям и повышает риски неточных прогнозов. Неспособность учесть непрерывность и нелинейность финансовых процессов ограничивает эффективность этих моделей в условиях высокой волатильности и быстро меняющихся рыночных условий.

Необходимость в более тонком подходе к моделированию финансовых рынков становится все более очевидной, поскольку традиционные методы часто оказываются неспособными адекватно отразить непрерывность данных и изменчивость рыночных условий. В отличие от дискретных моделей, не учитывающих плавные колебания цен, современные финансовые инструменты требуют анализа, способного обрабатывать непрерывные данные, такие как котировки акций в режиме реального времени. Особенно важным является учет волатильности — степени изменчивости цен — поскольку именно она определяет риски и потенциальную доходность инвестиций. Игнорирование этих факторов может приводить к неточным прогнозам и ошибочным решениям, что подчеркивает актуальность разработки новых моделей, способных адекватно отражать всю сложность финансовых процессов и более эффективно предсказывать экстремальные события, подобные мировому финансовому кризису 2008 года.

Линейная регрессия, несмотря на свою распространенность в качестве базового инструмента финансового анализа, обладает существенными ограничениями при моделировании сложной динамики финансовых рынков. Данный метод предполагает линейную зависимость между переменными, что часто не соответствует реальности, где взаимосвязи могут быть нелинейными и подвержены влиянию множества факторов. В то время как линейная регрессия способна выявить общие тенденции, она не учитывает критически важные аспекты, такие как волатильность, корреляции между активами и внезапные скачки цен. В результате, применение исключительно линейных моделей может привести к недооценке рисков и неточному прогнозированию, особенно в периоды повышенной рыночной нестабильности. Более сложные модели, учитывающие нелинейные зависимости и статистические особенности финансовых данных, становятся необходимыми для адекватного анализа и управления финансовыми рисками.

В октябре 2022 года модель ϕ⁴ продемонстрировала сопоставимую с фактическими данными динамику доходности акций NVDA, используя в качестве предикторов одновременную доходность акций AAPL и MSFT.
В октябре 2022 года модель ϕ⁴ продемонстрировала сопоставимую с фактическими данными динамику доходности акций NVDA, используя в качестве предикторов одновременную доходность акций AAPL и MSFT.

ϕ⁴ Теория: Новый Взгляд на Финансовые Временные Ряды

Теория $\phi^4$ предлагает инновационный подход к моделированию финансовых временных рядов, рассматривая цены активов как непрерывные переменные в рамках квантово-полевой структуры. В отличие от традиционных методов, оперирующих дискретными значениями, данная теория позволяет напрямую использовать фактические значения цен, что потенциально повышает точность моделирования. В рамках этой структуры, каждое изменение цены рассматривается как квантовое возбуждение в поле, описывающем рынок, что позволяет учитывать сложные взаимосвязи и корреляции между различными активами. Такой подход позволяет перейти от статистического описания рынка к динамическому, основанному на принципах квантовой механики, и учитывать нелинейные эффекты, часто наблюдаемые в финансовых данных.

В отличие от модели Изинга, требующей бинаризации данных — представления финансовых показателей в виде дискретных состояний (например, рост или падение цены), — теория $\phi^4$ позволяет оперировать с непрерывными значениями цен активов. Это исключает потерю информации, возникающую при дискретизации, и позволяет более точно отразить реальную динамику рынка. Использование непрерывных переменных в теории $\phi^4$ позволяет учитывать все возможные значения ценовых изменений, что особенно важно для анализа волатильных финансовых инструментов и моделирования тонких рыночных нюансов, которые не могут быть адекватно представлены бинарными данными.

В рамках данной модели, концепции квантовой теории поля используются для описания случайности и волатильности финансовых рынков. В отличие от классических моделей, рассматривающих цены как дискретные величины, ϕ4 теория оперирует с ценами как с непрерывными полями, что позволяет более точно отразить их динамику. Волатильность рассматривается как результат квантовых флуктуаций поля цены, а случайные изменения — как проявление неопределенности, присущей квантовым системам. Использование функционального интеграла позволяет вычислить вероятности различных траекторий изменения цены и, таким образом, оценить риски и возможности, возникающие на финансовых рынках. В частности, корреляции между активами могут быть описаны с помощью взаимодействий между различными квантовыми полями, что позволяет построить более адекватные модели ценообразования и управления рисками.

Представление финансовых взаимодействий в виде квантовых полей позволяет моделировать сложные зависимости между активами и потенциально прогнозировать изменения на рынке с большей точностью. В данной модели, каждая финансовая переменная рассматривается как квантовое поле, эволюционирующее во времени. Взаимодействие между этими полями, определяемое так называемым лагранжианом $L$, учитывает корреляции и зависимости между ценами активов. Анализ функций Грина, вычисляемых на основе этого лагранжиана, позволяет выявить статистические закономерности и прогнозировать будущие изменения цен, учитывая нелинейные эффекты и случайные флуктуации, которые сложно учесть в классических моделях. Использование квантово-полевого подхода позволяет исследовать нелокальные корреляции и учитывать влияние отдаленных событий на текущие рыночные тенденции.

Представление теории скалярного поля ϕ⁴ в виде полного графа позволяет моделировать корреляции между ценами акций (каждое поле ϕᵢ соответствует цене акции), при этом внешние факторы, влияющие на изменение цен, нарушают симметрию и приводят к смещению в положительную или отрицательную сторону.
Представление теории скалярного поля ϕ⁴ в виде полного графа позволяет моделировать корреляции между ценами акций (каждое поле ϕᵢ соответствует цене акции), при этом внешние факторы, влияющие на изменение цен, нарушают симметрию и приводят к смещению в положительную или отрицательную сторону.

Математические Инструменты для Калибровки и Валидации Модели

Ключевым аспектом применения $\phi^4$ теории в финансах является использование методов перенормировки для устранения бесконечностей, возникающих при расчетах, и извлечения осмысленных параметров модели. Перенормировка позволяет переопределить параметры модели таким образом, чтобы конечные результаты были конечными и физически интерпретируемыми. Этот процесс включает введение контр-членов, компенсирующих расходимости, и переопределение исходных параметров модели для соответствия наблюдаемым данным. Эффективность перенормировки критически важна для получения стабильных и надежных прогнозов в финансовых моделях, основанных на $\phi^4$ теории.

Для калибровки модели используется расхождение Кульбака-Лейблера (Kullback-Leibler Divergence, KLD), которое количественно оценивает разницу между предсказанным вероятностным распределением и наблюдаемыми рыночными данными. KLD, выражаемое как $D_{KL}(P||Q) = \int P(x) \log \frac{P(x)}{Q(x)} dx$, где $P(x)$ — истинное распределение, а $Q(x)$ — предсказанное, позволяет определить степень отклонения модели от реальности. Минимизация KLD в процессе калибровки обеспечивает соответствие предсказанных вероятностей эмпирическому распределению рыночных данных, что повышает точность и надежность модели.

Для снижения вычислительной сложности и повышения эффективности модели, применяется метод размерной компактфикации. Данный подход предполагает сокращение числа параметров, описывающих модель, путем фокусировки на наиболее значимых степенях свободы. Это достигается за счет интегрирования по менее важным переменным, что позволяет уменьшить размерность пространства состояний без существенной потери точности. В результате, время вычислений и потребление памяти значительно сокращаются, что особенно важно при работе с большими объемами данных и проведении многократных симуляций, при этом сохраняется адекватное представление о динамике моделируемых процессов.

Эффективность модели продемонстрирована способностью воспроизводить характеристики рыночного распределения, в частности, эксцесс (Market Kurtosis). При прогнозировании изменений цен акций модель достигла средней абсолютной ошибки (MAE) в размере 0.019. Для сравнения, наивный прогноз, основанный на масштабированном среднем значении, показал MAE в 0.023, что свидетельствует о незначительном, но измеримом превосходстве предлагаемой модели в точности прогнозирования.

Средняя абсолютная ошибка прогнозирования изменений цены акций AAPL с использованием линейной регрессии уменьшается с увеличением размера скользящего окна, приближаясь к уровню статистической неопределенности, наблюдаемому в ϕ⁴-теории.
Средняя абсолютная ошибка прогнозирования изменений цены акций AAPL с использованием линейной регрессии уменьшается с увеличением размера скользящего окна, приближаясь к уровню статистической неопределенности, наблюдаемому в ϕ⁴-теории.

Понимание Параметров Модели и Взаимодействий

Теория $ϕ4$ включает в себя параметры, отражающие сложность финансовых рынков. Неоднородные связи ($coupling$) моделируют взаимодействие между отдельными акциями, определяя, как изменение цены одной акции влияет на другие. Эти связи не являются универсальными; они варьируются в зависимости от конкретных акций и отражают специфические взаимосвязи внутри рынка. Внешние поля ($external\ fields$) представляют собой факторы, влияющие на изменение цен, такие как макроэкономические показатели, новости или настроения инвесторов. Эти поля нарушают симметрию модели, отражая реальное влияние внешних сил на поведение рынка и позволяя точнее моделировать динамику цен на акции.

Поведение разработанной модели определяется масштабирующими показателями, или Scaling Exponents, которые характеризуют зависимость различных параметров от масштаба. Анализ масштабирования данных индекса S&P 500 позволил установить значения этих показателей для весов ($k_{w_{ij}}$) и смещений ($k_{a_i}$), которые составили -0.96 и -0.81 соответственно. Эти значения указывают на то, что изменения весов и смещений в модели имеют фрактальную природу и проявляются на различных временных масштабах. В частности, отрицательные значения показателей свидетельствуют о том, что более крупные изменения в ценах активов редки, а небольшие изменения происходят чаще, что соответствует наблюдаемому распределению доходности на финансовых рынках. Полученные показатели позволяют более точно моделировать динамику рынка и прогнозировать будущие изменения цен.

В основе теории $ϕ4$ лежит концепция Z2-симметрии, фундаментального принципа, отражающего равновесие и стабильность системы. Однако, в контексте финансовых рынков, эта симметрия подвергается разрушению под воздействием внешних полей. Эти внешние поля представляют собой различные факторы, влияющие на изменение цен активов — новости, макроэкономические данные, политические события и прочие рыночные воздействия. Разрушение Z2-симметрии, таким образом, является отражением реальности, где рынки постоянно находятся под влиянием разнообразных сил, нарушающих идеальное равновесие и приводящих к динамичным изменениям цен. Именно это нарушение симметрии позволяет модели $ϕ4$ более реалистично описывать поведение финансовых активов, учитывая влияние внешних факторов на их ценообразование.

Представленная теоретическая модель демонстрирует математическую эквивалентность полям Маркова, что обеспечивает эффективное обучение и выборку данных. Этот подход позволяет существенно ускорить процесс анализа и прогнозирования, используя преимущества алгоритмов, разработанных для работы с полями Маркова. В результате сравнительного анализа с линейной регрессией, модель показала улучшенные результаты, поддерживая более низкие значения средней абсолютной ошибки (MAE) на протяжении периода до 400 дней. Данное преимущество указывает на способность модели более точно отражать динамику финансовых рынков и делать более надежные прогнозы, особенно в краткосрочной перспективе, чем традиционные линейные модели.

Средние значения весов и смещений демонстрируют логарифмическую зависимость от объема решетки в теории ϕ⁴ или, что эквивалентно, от количества смоделированных акций индекса S&P 500.
Средние значения весов и смещений демонстрируют логарифмическую зависимость от объема решетки в теории ϕ⁴ или, что эквивалентно, от количества смоделированных акций индекса S&P 500.

Исследование демонстрирует, что применение методов квантовой теории поля, в частности, теории φ⁴, к моделированию финансовых временных рядов позволяет преодолеть ограничения традиционных подходов, таких как модель Изинга. Особенное внимание уделяется сохранению высших статистических моментов, что потенциально улучшает точность прогнозирования. Как заметила Ханна Арендт: «Политика возникает там, где люди объединяются, а власть — там, где они объединяются, чтобы действовать вместе». Эта мысль перекликается с сутью работы, поскольку создание эффективной модели финансовых рынков требует объединения сложных математических инструментов и глубокого понимания динамики системы, чтобы совместно действовать в направлении предсказания и управления рисками. Использование принципов компактного измерения в данной работе позволяет упростить сложную систему, выделив наиболее важные параметры, что, в свою очередь, повышает эффективность алгоритма.

Куда же дальше?

Предложенный подход, использующий флуктуации порядка, присущие теории φ4, открывает, скорее, ящик Пандоры, чем решает проблему предсказания финансовых временных рядов. Нельзя сказать, что удалось обуздать хаос; скорее, нашли способ его более изощрённо описывать. Вопрос не в том, насколько хорошо модель воспроизводит прошлые данные, а в том, где кроется предел её предсказательной силы, когда рынок решит сыграть по своим, а не по нашим, правилам. В конце концов, даже самая элегантная математика бессильна перед иррациональностью толпы.

Очевидным направлением дальнейших исследований представляется изучение влияния различных схем компактификации на эффективность модели. Возможно, скрытые измерения таят в себе ключи к более точному улавливанию тонких корреляций, которые ускользают от стандартных методов. Однако, не стоит забывать о фундаментальной проблеме: даже если удастся идеально смоделировать текущую динамику, неизбежно возникнет вопрос о стабильности самой модели в условиях меняющегося ландшафта. Любая попытка “взломать” рынок обречена на провал, если не учитывать его постоянную эволюцию.

Истинно ценным представляется отказ от упрощающих предположений, таких как статичность параметров. Вместо этого необходимо разработать методы, позволяющие модели адаптироваться к изменяющимся условиям, возможно, за счёт введения нелинейных механизмов самообучения. В конечном итоге, успех в этой области зависит не от создания идеальной модели, а от способности видеть за цифрами отражение человеческой психологии — непредсказуемой и противоречивой, как сама жизнь.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2512.17225.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2025-12-22 09:37