Геометрия нейросетей: неожиданное открытие

от

Автор: Денис Аветисян

Новое исследование показывает, что даже простые нейронные сети самопроизвольно развивают геометрические структуры, предсказанные теоремой Колмогорова-Арнольда.

☕️

Читаем отчёты, пьём кофе, ждём дивиденды. Если тебе надоел хайп и ты ищешь скучную, но стабильную гавань — добро пожаловать.

Бесплатный Телеграм канал
В исследовании продемонстрировано, что как стандартные, так и дополненные модели демонстрируют масштабно-независимую ключевую точность градиента (KAG), при этом отношение PR остается значительно выше базового уровня (1.0) для k=2 миноров при использовании радиусов шаров $R \in \{7, 14, 21, 28\}$ пикселей, при этом дополненная модель демонстрирует снижение отношения PR примерно на 30%, что указывает на уменьшение «фрустрации» за счет воздействия разнообразных вариаций данных.
В исследовании продемонстрировано, что как стандартные, так и дополненные модели демонстрируют масштабно-независимую ключевую точность градиента (KAG), при этом отношение PR остается значительно выше базового уровня (1.0) для k=2 миноров при использовании радиусов шаров $R \in \{7, 14, 21, 28\}$ пикселей, при этом дополненная модель демонстрирует снижение отношения PR примерно на 30%, что указывает на уменьшение «фрустрации» за счет воздействия разнообразных вариаций данных.

Исследование демонстрирует спонтанное возникновение геометрии Колмогорова-Арнольда (KAG) в многослойных перцептронах, обученных на задаче классификации MNIST, и анализирует свойства, не зависящие от масштаба.

Несмотря на успехи глубокого обучения, механизмы внутренней организации нейронных сетей остаются во многом неясными. В работе «Scale-Agnostic Kolmogorov-Arnold Geometry in Neural Networks» авторы исследуют спонтанное формирование геометрической структуры, основанной на теореме Колмогорова-Арнольда, в простых многослойных перцептронах. Показано, что при обучении на задаче классификации рукописных цифр MNIST, сети демонстрируют устойчивую к масштабу геометрическую организацию, проявляющуюся как на локальных участках изображения, так и на всей картинке в целом. Какие принципы лежат в основе самоорганизации нейронных сетей и как эти геометрические свойства связаны с их обобщающей способностью?

Геометрическая Сущность Скрытых Слоев

Традиционные нейронные сети, несмотря на свою впечатляющую способность решать сложные задачи, часто функционируют как “черные ящики”, внутреннее устройство которых остается непрозрачным. В то время как сеть может точно предсказывать результаты, понять, как она пришла к этим выводам, представляет значительную трудность. Это отсутствие интерпретируемости ограничивает возможности отладки, улучшения и доверия к этим системам, особенно в критически важных областях, таких как медицина или финансы. Понимание причин, лежащих в основе решений нейронной сети, становится все более важным, поскольку эти системы внедряются в нашу повседневную жизнь, и именно поэтому исследователи активно ищут способы «взглянуть внутрь» этих сложных алгоритмов и сделать их более понятными.

Для анализа локального поведения нейронных сетей, исследователи обращаются к матрице Якоби — ключевому инструменту дифференциального исчисления. Эта матрица представляет собой набор частных производных функции по всем ее входным переменным, позволяя определить, как небольшие изменения во входных данных влияют на выход сети. Изучение матрицы Якоби позволяет выявить чувствительность сети к определенным входным параметрам и оценить стабильность ее работы в окрестности текущей точки. По сути, матрица Якоби предоставляет локальную линейную аппроксимацию нелинейной функции, представляемой нейронной сетью, что значительно упрощает анализ и понимание ее внутреннего функционирования. $J_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ — именно эта формула описывает элемент матрицы Якоби, где $f_i$ — i-я выходная функция, а $x_j$ — j-я входная переменная, что позволяет количественно оценить влияние каждого входа на каждый выход.

Теорема Колмогорова-Арнольда представляет собой удивительное утверждение о природе непрерывных функций. Она гласит, что любая непрерывная функция, даже самая сложная, может быть разложена на комбинацию более простых, одномерных функций. Иными словами, любую многомерную задачу можно свести к последовательности одномерных операций, что имеет глубокие последствия для понимания и построения сложных систем. Эта теорема, изначально разработанная в контексте дифференциальной геометрии, находит применение в анализе нейронных сетей, позволяя рассматривать сложные преобразования, происходящие в скрытых слоях, как результат последовательных, более простых операций. Это открытие позволяет по-новому взглянуть на представление данных и алгоритмы обучения, открывая возможности для разработки более эффективных и интерпретируемых моделей. По сути, сложность может быть сведена к простоте, а многомерные задачи — к последовательности одномерных решений, что является мощным инструментом в руках исследователей.

В процессе обучения как стандартные, так и дополненные модели демонстрируют появление геометрических признаков (KAG), превосходящих случайные значения по метрикам PR ratio, KL divergence и RR, причем более крупные сети характеризуются более выраженными геометрическими сигнатурами.
В процессе обучения как стандартные, так и дополненные модели демонстрируют появление геометрических признаков (KAG), превосходящих случайные значения по метрикам PR ratio, KL divergence и RR, причем более крупные сети характеризуются более выраженными геометрическими сигнатурами.

Геометрическое Схождение в Нейронных Сетях

Геометрия Колмогорова-Арнольда (ГКА) расширяет классическую теорему о неявных функциях, демонстрируя, что скрытые слои нейронных сетей могут проявлять удивительно простые геометрические свойства. В частности, ГКА показывает, что пространство, определяемое весами и смещениями скрытого слоя, часто имеет структуру, близкую к детерминированной, даже при высокой размерности. Это означает, что отображение, задаваемое скрытым слоем, может быть локально линейным или даже постоянным на значительных участках входного пространства. Анализ на основе ГКА позволяет выявить области входных данных, для которых выходные значения скрытых нейронов остаются неизменными, что указывает на потенциальную избыточность и возможности для оптимизации архитектуры сети.

В геометрии Колмогорова-Арнольда (KAG) важной характеристикой является наличие “нулевых строк” в матрице Якобиана. Эти строки указывают на локально постоянные скрытые нейроны, выходные значения которых не изменяются в определенной окрестности входных данных. Математически, нулевая строка в Якобиане $J$ означает, что все элементы в этой строке равны нулю, что соответствует отсутствию влияния соответствующего скрытого нейрона на изменение выходных значений сети при небольших изменениях входных данных. Таким образом, такие нейроны вносят минимальный вклад в общую функцию отображения сети и могут рассматриваться как потенциально избыточные элементы архитектуры.

Наличие нулевых строк в матрице Якоби указывает на существование локально-постоянных скрытых нейронов, которые вносят незначительный вклад в выходное значение сети. Это позволяет предположить возможность упрощения архитектуры нейронной сети путем удаления или объединения таких нейронов без существенной потери производительности. Устранение избыточности, связанной с нулевыми строками, может привести к снижению вычислительных затрат, уменьшению размера модели и ускорению процесса обучения, что особенно актуально для развертывания на устройствах с ограниченными ресурсами или в приложениях, требующих высокой скорости обработки данных. Кроме того, упрощение архитектуры может способствовать повышению обобщающей способности модели за счет снижения риска переобучения.

Обучение с использованием пространственно распределенных ограничений минимального расстояния между парами точек (KAG) обеспечивает стабильное соотношение точности и полноты (PR) для стандартных и дополненных моделей, даже при увеличении этого расстояния.
Обучение с использованием пространственно распределенных ограничений минимального расстояния между парами точек (KAG) обеспечивает стабильное соотношение точности и полноты (PR) для стандартных и дополненных моделей, даже при увеличении этого расстояния.

Количественная Оценка Малой Концентрации

“Меньшая концентрация” (Minor Concentration) описывает распределение определителей Якоби, вычисляемых для слоев нейронной сети. Высокий пик вблизи нуля в этом распределении указывает на преобладание скрытых нейронов, выходные значения которых практически постоянны. Это означает, что эти нейроны вносят минимальный вклад в изменение выходных данных сети при изменении входных данных, и, по сути, являются неактивными или избыточными. Анализ распределения определителей Якоби позволяет оценить степень “постоянства” скрытых единиц и, следовательно, характеристику, известную как KAG (Kernel Alignment of Gradients).

Для количественной оценки “минорной концентрации” в контексте KAG (Kernel Alignment Geometry) используются метрики, такие как коэффициент участия ($Participation Ratio$) и расхождение Кульбака-Лейблера ($KL Divergence$). Коэффициент участия измеряет распределение весов в сети, показывая, насколько сильно активность сосредоточена вокруг небольшого числа скрытых единиц. $KL Divergence$ позволяет сравнить распределение якобианов обученной сети с распределением, полученным при случайной инициализации, выявляя изменения в структуре активаций, возникающие в процессе обучения. Обе метрики предоставляют измеримые характеристики, позволяющие оценить степень концентрации активности и, следовательно, выраженность KAG в нейронной сети.

Эмпирический анализ обученных нейронных сетей последовательно демонстрирует значение коэффициента участия (Participation Ratio) больше 1.0 во всех пространственных масштабах и для различных размеров сети. Наблюдается также значительно более высокое значение расхождения Кульбака-Лейблера (KL Divergence) по сравнению с состоянием случайной инициализации. Эти результаты указывают на существенное проявление ключевого атрибута KAG (Kernel Alignment Gradient) в процессе обучения, подтверждая формирование и доминирование вырожденных скрытых единиц, характеризующихся почти постоянными значениями, что свидетельствует о формировании эффективного механизма градиентного потока.

Влияние на Задачи Распознавания Изображений

Анализ структуры многослойных персептронов, обученных на наборе данных MNIST, с использованием метода KAG (критерия агрегации градиентов) выявил закономерности незначительной концентрации. Этот подход позволил обнаружить, что веса сети не распределены равномерно, а склонны к формированию небольших кластеров, влияющих на процесс обучения и обобщающую способность модели. Выявленные области концентрации, хотя и не являются критическими, указывают на потенциальную возможность оптимизации архитектуры сети или стратегии обучения для повышения ее эффективности. Исследование показало, что незначительная концентрация весов является распространенным явлением в нейронных сетях, обученных на реальных данных, и требует дальнейшего изучения для разработки более эффективных алгоритмов машинного обучения.

Анализ структуры Якобиана, проведенный в рамках исследования, показал, что показатель «Коэффициент вращения» служит индикатором степени отклонения геометрической конфигурации нейронной сети от стандартных представлений. Этот коэффициент, измеряющий «выравнивание» элементов Якобиана, позволяет оценить, насколько сеть способна эффективно и последовательно обрабатывать входные данные. Высокий коэффициент вращения указывает на значительное отклонение от оптимальной геометрии, что может приводить к снижению точности и эффективности обучения. Исследование продемонстрировало, что оптимизация структуры Якобиана, направленная на уменьшение коэффициента вращения, способствует повышению устойчивости и производительности модели в задачах распознавания образов, что подтверждается экспериментальными данными.

Исследование показало, что применение пространственной аугментации к многослойным персептронам эффективно снижает геометрическую фрустрацию в сети. Анализ с использованием коэффициента участия ($Participation Ratio$) продемонстрировал уменьшение этого показателя примерно на 30%, что свидетельствует об оптимизации внутренней геометрии сети. Подобное снижение фрустрации указывает на более эффективное использование параметров сети и, как следствие, на улучшение её способности к обобщению и более точной классификации изображений, особенно в задачах распознавания рукописных цифр, таких как MNIST. Данный подход позволяет сети более стабильно и эффективно обрабатывать входные данные, что является важным фактором для повышения её надежности и производительности.

Исследование демонстрирует, что даже простейшие многослойные персептроны, обученные на классической задаче MNIST, спонтанно формируют геометрические структуры, согласующиеся с теоремой Колмогорова-Арнольда. Этот факт подчеркивает глубинные математические принципы, лежащие в основе обучения нейронных сетей, и указывает на то, что кажущийся хаос обучения может быть проявлением скрытой, элегантной организации. Как заметил Блез Паскаль: «Все великие вещи начинаются с малого». Подобно тому, как простая геометрия проявляется в сложных сетях, истинная сложность часто коренится в фундаментальных принципах, что подтверждает необходимость поиска математической чистоты в архитектуре алгоритмов.

Что дальше?

Представленные результаты, демонстрирующие спонтанное возникновение геометрических признаков, согласующихся с теоремой Колмогорова-Арнольда в простейших многослойных персептронах, наводят на мысль о фундаментальном вопросе: является ли это случайностью, или же в основе функционирования нейронных сетей лежит нечто более глубокое, нежели просто статистическая оптимизация? Необходимо признать, что обнаружение этих структур на датасете MNIST — лишь первый шаг. Повторяемость этих результатов на более сложных и неоднородных наборах данных, а также исследование влияния архитектуры сети и алгоритмов обучения на эти геометрические свойства, представляются критически важными.

Особое внимание следует уделить вопросу детерминированности. Если результат нельзя воспроизвести с абсолютной точностью, он остается недостоверным. Недостаточно продемонстрировать, что сеть может приобрести определенные свойства; необходимо доказать, что она всегда приобретает их при заданных условиях. Попытки формального описания этих геометрических структур, а также разработка метрик, позволяющих количественно оценить их «чистоту», представляются перспективными направлениями исследований. Иначе говоря, необходимо перейти от эмпирических наблюдений к строгим математическим доказательствам.

В конечном счете, истинная ценность данной работы заключается не в конкретных результатах, а в постановке вопроса: что, если принципы дифференциальной топологии действительно лежат в основе организации интеллекта? Это, конечно, смелое предположение, но именно такие предположения, подкрепленные строгим анализом, способны привести к прорыву в понимании природы вычислений.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2511.21626.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2025-12-01 03:27