Нейросети на службе опционных трейдеров: ценообразование и хеджирование в условиях неполных рынков

от

Автор: Денис Аветисян

Новая методика, основанная на глубоком обучении, позволяет одновременно оценивать стоимость и формировать хеджирующие стратегии для европейских опционов даже в ситуациях, когда идеальное хеджирование невозможно.

☕️

Читаем отчёты, пьём кофе, ждём дивиденды. Если тебе надоел хайп и ты ищешь скучную, но стабильную гавань — добро пожаловать.

Бесплатный Телеграм канал
Для опциона Equinox с параметрами $B=1$, $P=0.8$, $R=1$, $T=2$, $K=1$ и $X_0=1$ нейросетевое хеджирование демонстрирует эмпирические распределения прибыли и убытков, отражающие вариативность финансовых результатов при данной стратегии.
Для опциона Equinox с параметрами $B=1$, $P=0.8$, $R=1$, $T=2$, $K=1$ и $X_0=1$ нейросетевое хеджирование демонстрирует эмпирические распределения прибыли и убытков, отражающие вариативность финансовых результатов при данной стратегии.

В статье предлагается фреймворк глубокого обучения, обеспечивающий одновременное ценообразование и хеджирование европейских опционов на неполных рынках путем встраивания граничных условий и минимизации дисперсии распределения прибыли и убытков к моменту истечения срока опциона.

В условиях неполных финансовых рынков, задача точного ценообразования и хеджирования европейских опционов осложняется отсутствием единственного безрискового решения. В статье «Constrained deep learning for pricing and hedging european options in incomplete markets» предложен подход, основанный на глубоком обучении с ограничениями, позволяющий минимизировать дисперсию распределения прибыли и убытков (P&L) вокруг нуля. Ключевым нововведением является встраивание граничных условий, определяющих итоговую выплату опциона, непосредственно в архитектуру нейронной сети, что обеспечивает более стабильные и реалистичные результаты. Способно ли данное направление объединить преимущества машинного обучения и традиционных методов количественного анализа для создания более эффективных стратегий управления рисками на неполных рынках?

Пределы Традиционного Ценообразования Опционов

Классические модели ценообразования опционов, такие как модель Блэка-Шоулза, базируются на ряде упрощающих предположений, которые часто не соответствуют реальным рыночным условиям. Например, предполагается постоянная волатильность, нормальное распределение доходности активов и отсутствие транзакционных издержек. Однако на практике волатильность подвержена изменениям, распределение доходности может иметь «тяжелые хвосты», а транзакционные издержки неизбежны. Эти отклонения от идеализированных условий приводят к тому, что модель может давать неточные оценки, особенно для опционов с более сложными условиями выплаты или в периоды высокой рыночной волатильности. В результате, при использовании этих моделей необходимо учитывать их ограничения и, возможно, применять более сложные методы ценообразования или стратегии хеджирования, чтобы минимизировать риски, связанные с неточностью оценок. Например, модель не учитывает «улыбку волатильности» — явление, когда опционы с разными ценами исполнения имеют разную подразумеваемую волатильность, что требует корректировки исходных параметров.

Опционы, такие как цифровые и квадратные, представляют собой особый вызов для традиционных моделей ценообразования из-за своей негладкой структуры выплат. В отличие от европейских опционов с непрерывными функциями прибыли, эти экзотические производные демонстрируют разрывные изменения в выплатах при достижении или не достижении определенного ценового барьера. Это приводит к тому, что классические аналитические решения, основанные на дифференциальных уравнениях и предположениях о непрерывности, становятся неприменимыми или дают неточные результаты. Для адекватной оценки таких опционов требуются более сложные методы, такие как численные симуляции Монте-Карло или методы конечных разностей, которые способны учитывать дискретный характер выплат и нелинейные зависимости. Изучение особенностей ценообразования негладких опционов является важной областью исследований в финансовой математике, поскольку позволяет более точно оценивать риски и возможности, связанные с этими сложными финансовыми инструментами, и разрабатывать более эффективные стратегии управления ими.

Несовершенство рынков представляет собой существенную проблему при ценообразовании и управлении рисками экзотических опционов. В реальности, полная репликация потока выплат по сложным производным инструментам часто недостижима из-за ограниченности доступных активов или транзакционных издержек. Это означает, что стратегии хеджирования, основанные на идеальной репликации, не могут полностью устранить риск, что приводит к появлению так называемого «риска нехеджируемости». В таких условиях, традиционные модели ценообразования, предполагающие возможность идеального хеджирования, дают неточные результаты, а оценка справедливой стоимости требует использования более сложных подходов, учитывающих остаточный риск и привлекающих альтернативные методы, такие как моделирование Монте-Карло или использование неполных моделей равновесия. Эффективное управление рисками в условиях неполных рынков требует разработки стратегий, минимизирующих остаточный риск и учитывающих его влияние на стоимость производных инструментов.

Сравнение эмпирических распределений прибыли и убытков для хеджирования с использованием нейронной сети и дельта-хеджирования по Блэку-Шоулзу для цифрового колл-опциона с параметрами T=2, K=1.2 и X₀=1 показывает различия в эффективности стратегий.
Сравнение эмпирических распределений прибыли и убытков для хеджирования с использованием нейронной сети и дельта-хеджирования по Блэку-Шоулзу для цифрового колл-опциона с параметрами T=2, K=1.2 и X₀=1 показывает различия в эффективности стратегий.

Нейронные Сети: Новый Подход к Оценке Опционов

В рамках оценки европейских опционов применяется модель глубокого обучения — нейронная сеть, позволяющая одновременно определять их цену и формировать стратегию хеджирования. В отличие от традиционных методов, таких как модель Блэка-Шоулза или биномиальное дерево, нейронная сеть способна аппроксимировать сложные зависимости и учитывать нелинейности, возникающие при оценке опционов. Данный подход позволяет получить цену опциона и параметры дельты, необходимые для построения хеджирующей позиции, в рамках единой модели, что повышает эффективность управления рисками и снижает вычислительные затраты. Обучение сети осуществляется на исторических данных о ценах базовых активов и опционов, что позволяет ей адаптироваться к различным рыночным условиям.

Нейронные сети обладают способностью аппроксимировать сложные функции, что делает их эффективным инструментом для оценки опционов с нестандартными структурами выплат, таких как экзотические опционы. Традиционные методы ценообразования часто сталкиваются с трудностями при работе с нелинейными зависимостями и сложными условиями, характерными для этих инструментов. Нейронная сеть, в отличие от них, способна выучить эти зависимости на основе исторических данных и обеспечить более точную оценку стоимости, особенно в случаях, когда аналитическое решение отсутствует или является вычислительно сложным. Этот подход позволяет учитывать различные факторы, влияющие на цену опциона, и адаптироваться к изменениям рыночных условий, что особенно важно для опционов с комплексными условиями погашения или зависимостью от нескольких базовых активов.

Эффективность модели, использующей нейронные сети для оценки опционов, напрямую зависит от внедрения специфических ограничений и методов в процесс обучения. Для обеспечения точности результатов применяются регуляризационные техники, такие как L1 или L2 регуляризация, предотвращающие переобучение сети на обучающих данных. Стабильность обучения достигается за счет использования методов оптимизации, адаптирующих скорость обучения для каждого параметра сети, например, алгоритмов Adam или RMSprop. Кроме того, для повышения устойчивости и предотвращения градиентного взрыва или затухания применяются техники нормализации, такие как пакетная нормализация или нормализация слоев. Ограничения на веса и смещения сети также используются для предотвращения нереалистичных предсказаний и обеспечения соответствия модели финансовым принципам. Использование этих методов позволяет добиться высокой точности и стабильности при оценке и хеджировании опционов, даже в условиях нелинейных и сложных моделей.

Результаты моделирования показали, что нейронная сеть успешно хеджирует опцион Equinox с параметрами B=1, P=0.8, R=1, T=2, K=1 и X₀=1, демонстрируя стабильную прибыль и убытки.
Результаты моделирования показали, что нейронная сеть успешно хеджирует опцион Equinox с параметрами B=1, P=0.8, R=1, T=2, K=1 и X₀=1, демонстрируя стабильную прибыль и убытки.

Обеспечение Финансовой Согласованности в Сети

Условие самофинансирования является ключевым принципом, обеспечивающим поддержание постоянной стоимости портфеля во времени. Это достигается путем обеспечения того, чтобы любое изменение стоимости портфеля компенсировалось соответствующими изменениями в его компонентах, исключая возможность получения прибыли без риска — так называемые арбитражные возможности. Практически, это означает, что сумма притоков и оттоков денежных средств из портфеля в любой момент времени должна быть равна нулю. Соблюдение этого условия критически важно для обеспечения согласованности ценообразования опционов и предотвращения нерационального поведения модели, поскольку наличие арбитража привело бы к несоответствиям в ценах и нарушению логики рынка. В контексте нейронных сетей, применяемых для ценообразования опционов, условие самофинансирования реализуется как ограничение в процессе обучения, гарантирующее, что модель не генерирует арбитражные стратегии.

Внедрение Zero-Target Embedding напрямую учитывает конечное условие выплаты по опциону, что повышает точность ценообразования. Данный метод включает в целевую функцию сети значение конечной выплаты, фактически обучая сеть прогнозировать значение, к которому стремится конечная цена опциона. Это позволяет избежать необходимости в дополнительных корректировках после обучения и обеспечивает более точное соответствие между предсказанной ценой опциона и теоретически правильным значением, особенно в сложных сценариях и для экзотических опционов. В результате, Zero-Target Embedding позволяет сети более эффективно моделировать динамику цен опционов и снижает погрешность ценообразования.

Метод Control-Variate Embedding повышает стабильность обучения нейронной сети за счет снижения дисперсии градиентов. В данном подходе используется контрольная переменная, коррелирующая с целевой функцией, для уменьшения шума в оценке градиента, что позволяет ускорить сходимость и улучшить обобщающую способность модели. В свою очередь, Constrained Embedding дополнительно уточняет поведение сети, вводя ограничения на выходные значения или внутренние представления, что способствует более предсказуемому и надежному результату, особенно в задачах, где важна точность и соответствие заданным критериям.

Минимизация функции потерь прибыли и убытков (P&L) направляет нейронную сеть к решениям, которые уменьшают разброс распределения итоговой прибыли и убытков. В результате, для простых опционов, стандартное отклонение P&L снижается до 20% по сравнению с подходами, не использующими ограничения. Данный метод позволяет повысить стабильность и точность оценки опционов за счет сокращения дисперсии конечного результата, что критически важно для управления рисками и оптимизации торговых стратегий.

При нулевой цели, эмпирические распределения прибыли и убытков для хеджа на основе нейронной сети и дельта-хеджа по Блэку-Шоулзу демонстрируют схожие результаты при T=2, K=1.2 и X₀=1.
При нулевой цели, эмпирические распределения прибыли и убытков для хеджа на основе нейронной сети и дельта-хеджа по Блэку-Шоулзу демонстрируют схожие результаты при T=2, K=1.2 и X₀=1.

Моделирование Сложной Динамики Рынка и Экзотических Опционов

Стохастическая модель волатильности, дополненная процессом скачкообразной диффузии, предоставляет более реалистичное описание динамики цен активов. Традиционные модели часто предполагают плавное изменение цен, что не соответствует действительности, где рынки подвержены внезапным шокам и периодам повышенной неопределенности. Добавление скачкообразного процесса позволяет учесть эти резкие изменения, отражая возможность появления значительных ценовых «скачков», непредсказуемых в рамках классических моделей. Такой подход учитывает, что волатильность — это не постоянная величина, а случайный процесс, подверженный изменениям во времени, что особенно важно для оценки рисков и справедливой стоимости производных финансовых инструментов. В результате, модель способна более точно воспроизводить наблюдаемое поведение цен активов, особенно в периоды высокой рыночной турбулентности, предоставляя более надежные прогнозы и инструменты для управления рисками, чем модели, основанные на упрощенных предположениях.

Модель, включающая стохастическую волатильность и процесс скачкообразного диффузионного движения, позволяет более реалистично отразить динамику финансовых рынков, учитывая присущую им неопределенность и возможность внезапных шоков. В отличие от традиционных моделей, предполагающих плавное изменение цен активов, данная модель способна учитывать резкие, непредсказуемые колебания, которые часто наблюдаются на практике. Это, в свою очередь, значительно повышает точность оценки стоимости опционов, особенно тех, что чувствительны к резким изменениям базового актива. Учет скачкообразных процессов, описываемых $dN_t$, позволяет модели адекватно реагировать на неожиданные события, такие как публикации макроэкономической статистики или политические кризисы, тем самым предоставляя более надежную основу для ценообразования и управления рисками.

Разработанная нейронная сеть демонстрирует высокую эффективность в оценке и хеджировании опционов, зависящих от базового Vanilla Call Option, включая более сложные деривативы, такие как Equinox Option. В ходе тестирования установлено, что использование данной сети позволяет снизить стандартное отклонение прибыли и убытков (P&L) до 10% по сравнению с традиционным подходом, основанным на применении двух отдельных нейронных сетей. Такое улучшение достигается благодаря способности сети улавливать сложные взаимосвязи между различными опционами и эффективно учитывать факторы риска, что особенно важно при работе с производными финансовыми инструментами и в условиях высокой волатильности рынка. Данный подход позволяет оптимизировать стратегии управления рисками и повысить точность ценообразования опционов.

Исследование демонстрирует, что разработанная модель способна эффективно работать с опционами, существующими на неполных рынках, где абсолютное хеджирование невозможно. В таких условиях, когда идеальная защита от рисков недостижима, модель предоставляет ценные сведения для управления рисками, позволяя оценить и минимизировать потенциальные убытки. Примечательно, что модель сохраняет высокую производительность даже при обучении с умеренной интенсивностью скачков, что указывает на её устойчивость и практическую применимость в реальных финансовых условиях. Это позволяет трейдерам и финансовым аналитикам более точно оценивать риски и принимать обоснованные решения, даже в сложных и непредсказуемых рыночных ситуациях, где традиционные методы могут быть недостаточно эффективны.

Сравнение эмпирических распределений прибыли и убытков для хеджа, основанного на нейронной сети, и дельта-хеджа по Блэку-Шоулзу для опциона с параметрами T=2, K=1.2 и X₀=1 показывает различия в эффективности этих стратегий.
Сравнение эмпирических распределений прибыли и убытков для хеджа, основанного на нейронной сети, и дельта-хеджа по Блэку-Шоулзу для опциона с параметрами T=2, K=1.2 и X₀=1 показывает различия в эффективности этих стратегий.

Исследование демонстрирует, что попытки жесткого контроля над ценообразованием опционов в неполных рынках обречены на провал. Авторы предлагают иной подход: не диктовать цену, а позволить ей формироваться естественным образом, используя глубокое обучение для минимизации разброса итоговых прибылей и убытков. Этот метод, по сути, признает, что попытки точного контроля — это иллюзия, а влияние, достигаемое за счет адаптации к локальным правилам рынка, является реальным инструментом. В связи с этим вспоминается высказывание Сёрена Кьеркегора: «Жизнь — это не поиск смысла, а поиск человека, которому он был бы нужен». Подобно тому, как невозможно найти универсальный смысл жизни, так и невозможно навязать рынку определенную цену; необходимо учитывать его внутренние закономерности и потребности.

Куда же дальше?

Представленная работа, по сути, лишь фиксирует закономерность: стремление к управлению сложными системами неизбежно приводит к поиску локальных правил, способных породить желаемый порядок. Очевидно, что попытка «обуздать» неполные рынки с помощью нейронных сетей — это не столько решение проблемы, сколько поиск эффективного способа ее описания. Важно понимать, что минимизация дисперсии терминальной прибыли — это лишь один из возможных критериев, и его выбор, вероятно, обусловлен скорее удобством реализации, чем фундаментальной оптимальностью.

Более интересным представляется не столько совершенствование алгоритмов ценообразования, сколько исследование свойств самой неполноты рынка. Каждая точка связи между активами несет влияние, и анализ этих взаимодействий может выявить неожиданные закономерности. Самоорганизация, возникающая в результате конкуренции между участниками, представляется реальной формой управления без вмешательства, и игнорировать ее в пользу искусственно созданных моделей — значит упускать ключевой аспект.

Будущие исследования, вероятно, сосредоточатся на адаптивности и робастности предложенного подхода в условиях меняющейся рыночной конъюнктуры. Однако истинный прогресс, возможно, лежит в отказе от иллюзии контроля и принятии факта, что порядок возникает не из архитектуры, а из локальных правил взаимодействия.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2511.20837.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2025-11-27 07:04